基本的に週4日未満かつ週20時間未満の労働であれば失業保険の給付は受けられるはずです。給付期間中にアルバイトや内職をして収入が有った場合は給付が制限(不支給や減額)になります。

失業保険についての質問です。
来月12年勤めた会社を辞めるんですが、会社の方から、月８日程アルバイトとして来てほしいと言われてます。

ちなみに日給１万円ぐらいの契約です。
その場合、失業保険は全然出なくなってしまうのでしょうか？
もしくは、減額とかもあるのでしょうか？

金額の制限はありません。基本的に週4日未満かつ週20時間未満の労働であれば失業保険の給付は受けられるはずです。

失業保険について
事情で会社を今年いっぱいで退職することになったのですが、

失業してから職安等で求職登録をして３か月間は無職でいないと失業保険はおりないと聞いたことがあるんですが、
３か月後、就職をしてしまったらもうおりなくなるんでしょうか？（６か月間は無職でいないと満額はおりない？？）

あと、失業中、在宅ワーク（ネットの副業）とかをしてもおりないんでしょうか？？

知識がないためよく分かりません。申し訳ありませんが教えて頂けないでしょうか？？

自己都合による退職の場合、7日間の待期期間に加え、3カ月間、基本手当の支給が行われない給付制限期間が有ります。
つまり支給の対象となるのは、受給資格の決定から1週間と3カ月後になります。

給付制限期間中ですが、「給付制限の期限内に始まって終わるアルバイト」であり、「月に１４日間以内」であり、「週２０時間未満」なら問題ありません。

失業給付は失業中の生活を援助する為のモノですので、就職したら貰えません。
但し、再就職先が決まった場合、次の9つの条件を満たしている場合は「再就職手当」の申請をすることができます。

（1）所定給付日数の3分の1以上を残して再就職したこと
（2）再就職先での雇用期間が1年を超えることが確実な、安定した職業に就いたこと
（3）再就職先で雇用保険の被保険者になったこと
（4）関連会社も含め、離職前の事業主に再び雇用されたものではないこと
（5）就職日前3年以内の就職について、再就職手当または常用就職支度手当（就職困難者向けの再就職手当）を受給していないこと
（6）待期期間満了後の就職であること
（7）受給資格決定前に、既に内定していた会社に就職したのではないこと
（8）給付制限を受けている場合は、待期経過後1カ月間は、ハローワークまたは厚生労働大臣が許可した職業紹介事業者の紹介で就職したこと
（9）申請後すぐに離職していないこと

就職先の会社から採用証明書を発行してもらい、管轄のハローワークに所定の支給申請書を提出する。
再就職手当の申請期間は、就職した日の翌日から1カ月以内です。
また、再就職手当に該当しないような短期の就労であっても受給可能な就業手当があります。

給付期間中にアルバイトや内職をして収入が有った場合は給付が制限(不支給や減額)になります。
1日4時間を超える場合は不支給(給付日数は減らず後回し)、4時間未満の場合は内職または手伝いとして収入金額により満額支給か減額支給か不支給に分かれます。

失業保険給付中の時
週に２・３日、２０時間以内のアルバイトをしたとします。
そしてそのことを当たり前ですが、
月に１度の認定日に提出する紙に記入して申請します。
これって損なのでしょうか？

失業保険って給付期間中に働いたらその分減るのではなく、
給付日数が働いた日数分後に延びるだけって考えていいのでしょうか？？

大雑把な話として、所定給付日数の残日数が就業手当の条件を満たす間は、基本手当の代わりに就業手当が出ます。
残日数が就業手当の条件を満たさなくなれば、その日の分の基本手当が減額されるか、その日が支給対象外になります。